Introducción a las Probabilidades

Uno de los temas paralelos a la Metodología de Investigación más importantes es el de las Probabilidades.

Las probabilidades se utilizan desde para calcular la muestra probable de una investigación con base en la población total, hasta para extraer conclusiones.

En general, las probabilidades estudian experimentos aleatorios, es decir regidos por el azar, en que se conocen todos los resultados posibles pero no así los resultados particulares de cada experimento.

Las probabilidades se ubican entre 0 y 1. Si el resultado de un ejercicio de probabilidad es cero significa que no sucederá, mientras que si el resultado es 1 significa que sí sucederá con certeza. De esta forma, cuanto más cerca de 0 se encuentre más improbable será, y cuanto más cerca de 1 más probable será. Finalmente, si el resultado es 0,5, es decir la mitad, es tan improbable como probable.

Antes de profundizar en el tema de las probabilidades se presentarán dos conceptos básicos tomados de http://www.jfinternational.com/mf/probabilidades-definiciones.html:

Espacio Muestral. se llama espacio muestral (E) asociado a un experimento aleatorio, el conjunto de todos los resultados posibles de dicho experimento.

Evento o Suceso. se llama evento o suceso a todo subconjunto de un espacio muestral.

Con el estudio y la práctica ambos conceptos se clarificarán. A continuación se presentarán los tipos básicos de probabilidades, con sus procedimientos y ejemplos respectivos para que pueda aprender y practicar desde su casa.

Probabilidad de A: es el cálculo más básico de una probabilidad, se toman los casos favorables y se dividen entre el total de casos.

Casos Favorables

P(A) = ----------------------

Total de Casos

Evento Contrario: es el cálculo de una probabilidad con base en la probabilidad de su complemento, de esta forma si se tienen dos eventos que recogen el total de posibilidades (sean A y à que denota el complemento de A) y se quiere la probabilidad de A, esta se puede calcular con base en la probabilidad de à restándosela a 1:

Ley de la Suma¹: se aplica al trabajar con eventos alternativos mutuamente excluyentes, de esta forma si se tienen dos eventos (sean A y B) y se quiere la probabilidad de que suceda alguno de ellos, se deben calcular las probabilidades de cada una y sumarlas:

Ley de la Suma²: se aplica al trabajar con eventos alternativos de ocurrencia conjunta, de esta forma si se tienen dos eventos (sean A y B) y se quiere la probabilidad de que suceda alguno de ellos, se deben calcular las probabilidades de cada una y sumarlas, pero restarles la probabilidad de que sucedan ambas conjuntamente:

Ejercicios resueltos tomados de http://www.sectormatematica.cl/psu/Psu%20Probabilidades.pdf:

1. En una sala de clases hay 20 mujeres y 12 hombres. Si se escoge uno de ellos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona escogida sea hombre?

A) 12/20

B) 20/12

C) 30/32

D) 12/32

E) 1/32

Solución:

Por definición, la probabilidad de que un suceso ocurra viene dada por:

casos favorables

p= ----------------------------

casos totales o posibles

En particular, hay 12 hombres, por lo tanto son 12 los casos favorables a dicha selección. Pero ella se hará de un total de 20 + 12 = 32 personas -sumamos la cantidad de mujeres y hombres que forman parte de la selección y por tanto, los casos posibles o totales-. Así, la probabilidad pedida es

p= 12/32 - Alternativa D).

2. Se tienen cinco libros de distintas materias: Matemática, Biología, Química, Física y Lenguaje. Si se toma uno de ellos, ¿cuál es la probabilidad de que este sea de atemática o de física?

A) 1/5

B) 2/5

C) 3/5

D) 4/5

E) 2/3

Solución:

Sean los eventos A ≡ Tomar el libro de Matemáticas. y B ≡ Tomar el libro de Física.

La probabilidad pedida es:

P(A∪B) = P(A) + P(B)

Por lo tanto, la probabilidad pedida nos queda:

p=1/5 + 1/5 = 2/5 - Alternativa B).

3. Se elige al azar un número entero positivo del 1 al 19. ¿Cuál es la probabilidad de que el número sea múltiplo de 3 ó de 5?

A) 9/19

B) 8/19

C) 6/19

D) 3/19

E) 1/19

Solución:

Como son 19 números, la cantidad de elementos del espacio muestral es # E = 19.

Sean los eventos: A ≡ Obtener un número múltiplos de 3 y B ≡ Obtener un número múltiplos de 5.

Sabemos que:

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(AB) (*)

A = {3, 6, 9, 12, 15, 18} ⇒ P(A)= 6/19

B = {5, 10, 15} ⇒ P(B) = 3/19

AB ≡ Números múltiplos de 3 y 5 = {15} ⇒ P(AB) = 1/19

Reemplazando P(A), P(B) y P(AB) en (*) obtenemos:

P(A∪B) = 6/19 + 3/19 – 1/19 = 8/19 - Alternativa B).

Otras fuentes consultadas

http://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidad

http://www.fisterra.com/mbe/investiga/probabilidades/probabilidades.asp